Что это математика
Бесплатная консультация о поступлении за границу. У Евклида и его последователей аксиомы представлены лишь как исходные пункты для построения математики без всяких комментариев об их природе. А потом я спросила ее, какие соседи у числа 18, и девочка надолго замолчала.
У него явные способности к математике. Экзамен по математике. Преподавать математику. Он получил двойку по математике. Математические вычисления.
Математический факультет. Толковый словарь русского языка Дмитриева. Хуго Штейнхаус Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике. Джордж Сантаяна Он стал поэтом для математика у него не хватало фантазии.
Давид Гильберт об одном… … Сводная энциклопедия афоризмов. Наука о величинах, вообще о том, что можно выразить цифрами. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Приведенные выше результаты получили подтверждение еще с одной стороны: в математике, главным образом в алгебре, один за другим стали возникать новые математические объекты, представлявшие собой обобщения понятия числа.
Обычные целые числа достаточно «интуитивны», и придти к экспериментальному понятию дроби совсем не трудно хотя нельзя не признать, что операция деления единицы на несколько равных частей и выбор нескольких из них по своей природе отличаются от процесса счета.
После того как выяснилось, что число непредставимо в виде дроби, греки были вынуждены рассматривать иррациональные числа, корректное определение которых с помощью бесконечной последовательности приближений рациональными числами принадлежит к наивысшим достижениям человеческого разума, но вряд ли соответствует чему-нибудь реальному в нашем физическом мире где любое измерение неизменно сопряжено с ошибками. Тем не менее введение иррациональных чисел происходило более или менее в духе «идеализации» физических понятий.
А что сказать об отрицательных числах, которые медленно, встречая большое сопротивление, стали входить в научный обиход в связи с развитием алгебры? Со всей определенностью можно утверждать, что не было никаких готовых физических объектов, отправляясь от которых мы с помощью процесса прямой абстракции могли бы выработать понятие отрицательного числа, и в преподавания элементарного курса алгебры приходится вводить множество вспомогательных и достаточно сложных примеров ориентированные отрезки, температуры, долги и т.
Тем не менее математики с конца 16 в. После было предложено несколько интерпретаций комплексных чисел, самая известная — с помощью векторов на плоскости. Переворот произошел во второй половине 19 в. И хотя он не сопровождался принятием официальных заявлений, в действительности речь шла именно о провозглашении своего рода «декларации независимости». Конкретнее — о провозглашении де факто декларации независимости математики от внешнего мира. С этой точки зрения, математические «объекты», если вообще имеет смысл говорить об их «существовании», — чистое порождение разума, и имеют ли они какие-нибудь «соответствия» и допускают ли какую-нибудь «интерпретацию» в физическом мире, для математики несущественно хотя сам по себе этот вопрос интересен.
Но теперь аксиомы следует рассматривать как совершенно произвольные, и поэтому отпадает необходимость в их «очевидности» или выводимости из повседневного опыта посредством «идеализации». На практике полная свобода ограничена разного рода соображениями.
Разумеется, «классические» объекты и их аксиомы остаются без изменений, но теперь их нельзя считать единственными объектами и аксиомами математики, и в повседневную практику вошла привычка выбрасывать или переделывать аксиомы так, чтобы была возможность использовать их различными способами, как это было сделано при переходе от евклидовой геометрии к неевклидовой.
Именно таким образом были получены многочисленные варианты «неевклидовых» геометрий, отличных от евклидовой геометрии и от геометрии Лобачевского — Бойяи; например, имеются неевклидовы геометрии, в которых не существует параллельных прямых.
Хотелось бы особенно подчеркнуть одно обстоятельство, следующее из нового подхода к математическим «объектам»: все доказательства должны опираться исключительно на аксиомы.
Если мы вспомним об определении математического доказательства, то подобное высказывание может показаться повтором. Однако это правило редко соблюдалось в классической математике из-за «интуитивной» природы ее объектов или аксиом.
Даже в Началах Евклида, при всей их кажущейся «строгости», многие аксиомы не формулируются явно и многие свойства либо молчаливо предполагаются, либо вводятся без достаточного обоснования. Чтобы поставить евклидову геометрию на прочную основу, понадобился критический пересмотр самих ее начал.
Вряд ли стоит говорить о том, что педантичный контроль за мельчайшими деталями доказательства является следствием появления «монстров», научивших современных математиков соблюдать осторожность в выводах. Самое безобидное и «самоочевидное» утверждение о классических объектах, например утверждение о том, что кривая, соединяющая точки, расположенные по разные стороны от прямой, непременно пересекает эту прямую, в современной математике требует строгого формального доказательства.
Возможно, покажется парадоксальным утверждение, что именно из-за своей приверженности аксиомам современная математика служит наглядным примером того, какой должна быть любая наука. Тем не менее такой подход иллюстрирует характерную особенность одного из наиболее фундаментальных процессов научного мышления — получения точной информации в ситуации неполного знания.
Научное исследование некоторого класса объектов предполагает, что особенности, позволяющие отличать одни объекты от других, умышленно предаются забвению, а сохраняются лишь общие черты рассматриваемых объектов. То, что выделяет математику из общего ряда наук, заключается в неукоснительном следовании этой программе во всех ее пунктах.
Считается, что математические объекты полностью определены аксиомами, используемыми в теории этих объектов; или, по словам Пуанкаре, аксиомы служат «замаскированными определениями» тех объектов, к которым они относятся. Хотя теоретически возможно существование любых аксиом до настоящего времени было предложено и исследовано лишь небольшое число аксиом.
Обычно в ходе развития одной или нескольких теорий замечают, что какие-то схемы доказательства повторяются в более или менее аналогичных условиях. После того как свойства, используемые в общих схемах доказательств, обнаружены, их формулируют в виде аксиом, а следствия из них выстраивают в общую теорию, не имеющую прямого отношения к тем конкретным контекстам, из которых были абстрагированы аксиомы.
Получаемые при этом общие теоремы применимы к любой математической ситуации, в которой существуют системы объектов, удовлетворяющие соответствующим аксиомам. Повторяемость одних и тех же схем доказательства в различных математических ситуациях свидетельствует о том, что мы имеем дело с различными конкретизациями одной и той же общей теории.
Это означает, что после соответствующей интерпретации аксиомы этой теории в каждой ситуации становятся теоремами. Любое свойство, выводимое из аксиом, будет справедливо во всех этих ситуациях, но необходимость в отдельном доказательстве для каждого случая отпадает.
В таких случаях говорят, что математические ситуации обладают одной и той же математической «структурой». Мы пользуемся представлением о структуре на каждом шагу в нашей повседневной жизни.
Если книга открыта на й странице и нас просят заглянуть на 5 страниц дальше, мы не колеблясь открываем ее на й странице, не отсчитывая промежуточных страниц. В обоих случаях мы полагаем, что сложение чисел дает правильный результат независимо от их интерпретации — в виде температуры или номеров страниц. Интересующие математиков структуры отличаются несколько более высокой сложностью, в чем нетрудно убедиться на примерах, разбору которых посвящены два следующих раздела данной статьи.
В одном из них речь пойдет о теории групп и математических понятиях структур и изоморфизмов. Чтобы лучше понять процесс, обрисованный выше в общих чертах, возьмем на себя смелость заглянуть в лабораторию современного математика и присмотреться к одному из его основных инструментов — теории групп см. Группой называется набор или «множество» объектов G , на котором определена операция, ставящая в соответствие любым двум объектам или элементам a , b из G , взятым в указанном порядке первым — элемент a , вторым — элемент b , третий элемент c из G по строго определенному правилу.
Эта операция, которую мы назовем групповым умножением, должна удовлетворять следующим условиям:. Если эти свойства принять за аксиомы, то логические следствия из них независимые от каких-либо других аксиом или теорем в совокупности образуют то, что принято называть теорией групп. Вывести раз и навсегда эти следствия оказалось очень полезно, поскольку группы широко применяются во всех разделах математики.
Из тысяч возможных примеров групп выберем лишь несколько наиболее простых. Свойства 1 , 2 , 3 следуют из аксиом арифметики. Результаты таким образом введенной операции представлены в табл. Нетрудно проверить, что свойства 1 — 3 выполняются, а единичным элементом служит число 0. В результате получим табл. Легко проверить, что свойства 1 — 3 выполняются, а единичным элементом служит 1.
Каждое расположение можно наглядно представить как преобразование, переводящее «естественное» расположение в заданное; например, расположение 4, 1, 2, 3 получается в результате преобразования. Например, если , , то. При таком определении все 24 возможных преобразования образуют группу; ее единичным элементом служит , а элемент, обратный к S , получается при замене стрелок в определении S на противоположные; например, если , то.
Группа из примера d является частным случаем т. Предыдущие примеры показывают, насколько разнообразной может быть природа объектов, образующих группу. Но на самом деле в каждом случае все сводится к одному и тому же сценарию: из свойств множества объектов мы рассматриваем лишь те, которые превращают это множество в группу вот пример неполноты знания!
В таких случаях говорят, что мы рассматриваем групповую структуру, заданную выбранным нами групповым умножением. Еще один пример структуры — т. Такое отношение должно иметь смысл для любой пары элементов из Е , но в общем случае оно ложно для одних пар и истинно для других, например, отношение 7 1 R a , a истинно для каждого а , принадлежащего Е ;.
Точное определение понятия структуры довольно сложно. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что на множестве Е задана структура определенного типа, если между элементами множества Е а иногда и другими объектами, например числами, которые играют вспомогательную роль заданы отношения, удовлетворяющие некоторому фиксированному набору аксиом, характеризующему структуру рассматриваемого типа. Выше мы привели аксиомы трех типов структур.
Разумеется, существуют многие другие типы структур, теории которых полностью разработаны. С понятием структуры тесно связаны многие абстрактные понятия; назовем лишь одно из наиболее важных — понятие изоморфизма. Вспомним пример групп b и c , приведенных в предыдущем разделе. Нетрудно проверить, что от табл. В этом случае мы говорим, что данные группы изоморфны.
Читатель без труда убедится, что точно так же можно определить два изоморфных упорядоченных множества или два изоморфных метрических пространства. Можно показать, что понятие изоморфизма распространяется на структуры любого типа. Понятие структуры и связанные с ним другие понятия заняли в современной математике центральное место как с чисто «технической», так и с философской и методологической точек зрения.
Общие теоремы основных типов структур служат чрезвычайно мощными инструментами математической «техники». Всякий раз, когда математику удается показать, что изучаемые им объекты удовлетворяют аксиомам определенного типа структур, он тем самым доказывает, что все теоремы теории структуры этого типа применимы к конкретным объектам, изучением которых он занимается без этих общих теорем он, весьма вероятно, упустил бы из виду конкретные их варианты или был бы вынужден обременять свои рассуждения излишними допущениями.
Аналогично, если доказано, что две структуры изоморфны, то число теорем немедленно удваивается: каждая теорема, доказанная для одной из структур, сразу же дает соответствующую теорему для другой.
Неудивительно поэтому, что существуют весьма сложные и трудные теории, например «теория поля классов» в теории чисел, главная цель которых — доказательство изоморфизма структур. С философской точки зрения, широкое использование структур и изоморфизмов демонстрирует основную особенность современной математики — то обстоятельство, что «природа» математических «объектов» не имеет особого значения, значимы лишь отношения между объектами разновидность принципа неполноты знания.
Наконец, нельзя не упомянуть о том, что понятие структуры позволило по-новому классифицировать разделы математики. До середины 19 в. Арифметика или теория чисел имела дело с целыми числами, геометрия — с прямыми, углами, многоугольниками, окружностями, площадями и т. Алгебра занималась почти исключительно методами решения численных уравнений или систем уравнений, аналитическая геометрия разрабатывала методы преобразования геометрических задач в эквивалентные алгебраические задачи.
Круг интересов еще одного важнейшего раздела математики, получившего название «математический анализ», включал в основном дифференциальное и интегральное исчисления и различные их приложения к геометрии, алгебре и даже теории чисел. Количество этих приложений увеличивалось, возрастало и их значение, что привело к дроблению математического анализа на подразделы: теорию функций, дифференциальные уравнения обыкновенные и в частных производных , дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и т.
Для многих современных математиков такой подход напоминает историю классификации первыми натуралистами животных: когда-то и морская черепаха, и тунец считались рыбами, поскольку обитали в воде и имели сходные черты. Современный подход научил нас видеть не только то, что лежит на поверхности, но и заглядывать глубже и пытаться распознать фундаментальные структуры, лежащие за обманчивой внешностью математических объектов.
С этой точки зрения, значение имеет исследование наиболее важных типов структур. Вряд ли в нашем распоряжении имеется полный и окончательный список этих типов; некоторые из них были открыты в последние 20 лет, и есть все основания ожидать в будущем новых открытий. Однако мы уже имеем представление о многих основных «абстрактных» типах структур.
Они «абстрактны» по сравнению с «классическими» объектами математики, хотя и те вряд ли можно назвать «конкретными»; дело скорее в степени абстракции. Известные структуры можно классифицировать по входящим в них отношениям или по их сложности. С одной стороны, существует обширный блок «алгебраических» структур, частным случаем которых является, например, групповая структура; среди других алгебраических структур назовем кольца и поля см.
Раздел математики, занимающийся изучением алгебраических структур, получил название «современной алгебры» или «абстрактной алгебры», в отличие от обычной, или классической, алгебры.
Значительная часть евклидовой геометрии, неевклидова геометрия и аналитическая геометрия также вошли в состав новой алгебры. На том же уровне общности находятся два других блока структур. Один из них, называемый общей топологией, включает в себя теории типов структур, частным случаем которых является структура метрического пространства см.
Третий блок составляют теории структур порядка и их расширений. Из этих трех блоков два последних до недавнего времени находились в сравнительно стабильном состоянии, а блок «современная алгебра» стремительно разрастался, подчас в неожиданных направлениях например, получила развитие целая отрасль, получившая название «гомологической алгебры». За пределами т. Было изучено множество таких комбинаций, большинство из которых распадаются на два обширных блока — «топологическую алгебру» и «алгебраическую топологию».
Вместе взятые, эти блоки составляют весьма солидную по объему «абстрактную» область науки. Многие математики надеются с помощью новых средств лучше понять классические теории и решить трудные проблемы. Действительно, при соответствующем уровне абстрагирования и обобщения задачи древних могут предстать в новом свете, что позволит найти их решения. Огромные фрагменты классического материала оказались под властью новой математики и были преобразованы или слились с другими теориями.
Остаются обширные области, в которых современные методы приникли не столь глубоко. Примерами могут служить теория дифференциальных уравнений и значительная часть теории чисел. Весьма вероятно, что существенный прогресс в этих областях будет достигнут после того, как будут открыты и тщательно изучены новые типы структур. Еще древние греки отчетливо понимали, что математическая теория должна быть свободна от противоречий. Это означает, что невозможно вывести как логическое следствие из аксиом утверждение Р и его отрицание не- P.
Однако, поскольку считалось, что математические объекты имеют соответствия в реальном мире, а аксиомы являются «идеализациями» законов природы, ни у кого не возникало сомнений в непротиворечивости математики. При переходе от классической математики к математике современной проблема непротиворечивости приобрела иной смысл.
Свобода выбора аксиом любой математической теории должна быть заведомо ограничена условием непротиворечивости, но можно ли быть уверенным в том, что это условие окажется выполненным? Мы уже упоминали о понятии множества. Например, если гендир окончил мехмат МГУ, то руководителем департамента скорее станет тот, кто понимает или старается понять его шутки про матан и топологию.
Математика в рабочих инструментах спрятана глубоко, и обычному пользователю, как правило, недоступна и не нужна. Поэтому достаточно изучить инструкцию и освоить основные практические приёмы. Для удовлетворительного решения тестов на IQ тоже можно обойтись без специального изучения математики. Здесь поможет обычный здравый смысл и, главное, опыт решения именно этого типа задач, которые в большинстве восходят к оригинальным тестам Айзенка.
Прочитайте разбор этих задач, сделанный академиком В. Васильевым, а также статью про силлогизмы, особенно часть про круги Эйлера. Задачи с подвохом, не имеющие точного ответа, решаются с помощью вычисления Ферми. Это метод приближённой оценки чего угодно, основанный на имеющихся у вас знаниях о проблеме. Такие задачи призваны выявить не столько знание математики, сколько кругозор кандидата, его уверенность и способность рассуждать.
Наконец, для того чтобы понимать математиков, можно просто попросить объяснить. Коллеги тоже люди, им нравится чувствовать себя умными и образованными. Зачем-то же, в конце концов, они учились на мехмате?! Что изучить, если хотите изучить. Решение квадратных уравнений и неравенств. Основные функции: линейная, квадратичная, кубическая, показательная, логарифмическая, тригонометрические. Их производные и интегралы. Начала комбинаторики и теории вероятностей.
Упражняться в решении тестов можно по сборникам вроде « Большой книги IQ-тестов » Ф. Картера и К. Общую эрудицию — знание географии, биологии, истории, литературы — подтяните с помощью базы вопросов «Что? Ответы и ссылки на источники там есть. Хорошие темы для small talk с коллегами, идентифицирующими себя как математиков, — это история, философия и методы этой науки.
Книг на эту тему великое множество, посоветуем три и одну статью:.
В году физик Юджин Вигнер написал статью « Непостижимая эффективность математики в естественных науках ». Одно название ласкает слух любого математика «непостижимая»! Например, гипотеза о связи сознания и квантовых процессов, развитая позднее физиком Роджером Пенроузом в книге « Новый ум короля ». Если вы играете в компьютерные игры, то, возможно, знаете, что расчёт характеристик вашего персонажа — это довольно суровая математика. Обычный игрок в неё, конечно, не вникает, а создатели игр часто чинят разные препятствия слишком уж продвинутым теорикрафтерам , не без оснований считая, что те портят атмосферу игры.
Тем, кто увлекается ставками на исходы спортивных событий, не повредит знакомство с теорией вероятностей и математической статистикой. Базовая статистика нужна и для тайм-менеджмента, основанного на учёте и анализе потраченного времени. Вообще, теория вероятностей — это один из наиболее практичных способов войти в математику.
Главное, чему она учит:. Теорема Байеса, математическая индукция, закон больших чисел и другие методы решения самых разнообразных задач, которые даёт нам математика, лежат в основе рационального мышления, способствуют осознанности и, в конечном итоге, улучшают качество нашей жизни. Книги, которые можно прочитать, начиная с самых доступных:. Мыслить как математик — это значит уметь обобщать и моделировать.
Это основы абстрактного мышления, а «использование правильных абстракций приводит к более глубокому проникновению в суть вопроса и большему могуществу при его решении» С. Строгац, «Удовольствие от x». Абстрактное мышление является нашим эволюционным преимуществом — мы умеем с пользой для себя обращаться с тем, что невозможно учуять, увидеть или попробовать на зуб. А если математика действительно является невидимой инфраструктурой физического мира, как считает Макс Тегмарк , то её изучение даст нам ни больше ни меньше ключи ко всей Вселенной.
Мы вроде как хотим узнать, что такое эта самая Вселенная, поэтому «приводим в порядок ум» — и вперёд! Теорикрафтинг от англ. Макс Тегмарк — шведско-американский космолог и астрофизик, профессор MIT.
